โครงสร้างของคณิตศาสตร์
ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขาใด
หรือในระดับการศึกษาใดก็ตาม ต้องเรียนรู้ถึงคำใหม่ๆ ในสาขานั้นๆ
คำใหม่เหล่านี้บางคำก็จำเป็นต้องให้ความหมายที่ชัดเจน โดยกำหนดคำนิยาม (Define
Term) ของคำนั้นๆ แต่บางคำก็ไม่จำเป็นต้องให้นิยาม
เพราะให้นำยามไปก็ไม่มีประโยชน์ ซึ่งเราพูดถึงคำที่ไม่ให้นิยามเหล่านี้ว่า
คำอนิยาม (Undefine Term) นอกจากนี้ยังมีข้อความที่ยอมรับหรือมีข้อตกลงว่าเป็นความจริงโดยมไม่ต้องมีการพิสูจน์
ซึ่งเรียกว่า สัจพจน์ (Postulate หรือ Axiom) ซึ่งมีความสำคัญกับคณิตศาสตร์มาก
เพราะนักคณิตศาสตร์เชื่อว่าก่อนที่จะพิสูจน์ข้อความใดข้อความหนึ่งว่าถูกต้องนั้น
เราต้องยอมรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งว่าถูกต้องก่อน
ไม่เช่นนั้นเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ข้อความนั้นได้
จากนิยาม อนิยาม และสัจพจน์
เราสามารถพิสูจน์ข้อความใหม่ๆ ได้อีกมากมาย
ข้อความที่พิสูจน์ได้เหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบท (Theorem) โดยอาศัยตรรกศาสตร์เป็นเครื่องมือพิสูจน์ทฤษฎีบทในทางคณิตศาสตร์
เราเรียกระบบที่ประกอบด้วยบทนิยาม คำอนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท
ว่าเป็นโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ (Mathematical System Structure) มีรายละเอียดดังนี้
1. คำอนิยาม
คำนิยาม คือ คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความ
ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอย่างไร แต่อาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย
หรือทราบได้จากสามัญสำนึก ที่คนส่วนใหญ่เข้าใจตรงกันว่าหมายความว่าอย่างไร
หากจะให้ความหมายของคำนั้นจะเกิดความยุ่งยาก
จึงไม่มีความจำเป็นต้องอธิบายความหมายอีก เช่น จุด เส้นตรง เซต
คำอนิยามจำเป็นต้องมีในคณิตศาสตร์ทุกแขนงเพราะการที่จะให้ความหมายของสิ่ง ๆ หนึ่ง
จำต้องใช้คำที่ทราบความหมายหรือเข้าใจตรงกันแล้วมาใช้อธิบาย หากไม่มีคำอนิยามก็จะไม่มีคำตั้งต้นสำหรับใช้สำหรับนิยามหรืออธิบายความหมายของคำอื่นๆ
2. บทนิยาม
บทนิยาม คือ
การให้ความหมายของคำที่จะใช้ศึกษาในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง
โดยอาศัยคำที่สามารถอธิบายหรือให้คำจำกัดความได้ โดยอาศัยคำอนิยามหรือบทนิยามอื่นๆ
ที่กล่าวถึงก่อนหน้าในเรื่องหนึ่งๆ เช่น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ
รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน บทนิยามที่ดีต้องมีความเป็นสากล
และเมื่อกำหนดขึ้นมาแล้วจะต้องไม่มีข้อโต้แย้งใด ๆ
3. สัจพจน์
สัจพจน์ คือ ข้อความที่ตกลงกันว่าเป็นจริง
เป็นที่ยอมรับร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น
มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้
4. ทฤษฎีบทหรือกฎ
ทฤษฎีบทหรือกฎ หมายถึง
ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงเสมอ ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม
บทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่นที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้วมาช่วยในการอ้างเหตุผลอย่างสมเหตุสมผลร่วมกับการอธิบายตามหลักตรรกศาสตร์
ทำให้เราเข้าใจถึงโครงสร้างแรกของคณิตศาสตร์ มีอะไรบ้าง ขอบคุณสำหรับเนื้อหาเพื่อเป็นแนวทางในการศึกษา
ตอบลบครับๆ
ตอบลบขอบคุณครับสำหรับเนื้อหาสาระ
ตอบลบ