โจทย์ปัญหา

1.วิธีเรียงสลับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่และทฤษฎีบททวินาม

1.1  กล่องใบหนึ่งบรรจะลูกบอล 7 ลูก มีสีแดง 3 ลูก สีดำ 2 ลูก สีขาว1ลูก สีเขียว 1 ลูก วีกี่วิธีที่จะหยิบลูกบอล3ลูก

1.2  ถ้านำเลขโดด 4 ,2,1,3 จัดเรียงกัน จะได้ผลบวกของเลขทั้งหมดเป็นเท่าไร เมื่อเลขสี่หลักนั้นมีเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

1.3  จะสร้างเลข 4 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4 ได้กี่จำนวน

1.4  จะสร้างเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่จำนวน

1.5  จัดเด็ก 1 คน หญิง 3 คน และผู้ชาย 3 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยที่ผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก จะจัดได้กี่วิธี

1.6  มีวิธีการจัดคน 9 คน ให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 9 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี

1.7 ชาย 8 คน หญิง 8 คน ต้องการยืนล้อมเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี ถ้า

       (ก) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 2 คน

       (ข)ชาย-หญิง สลับกันทีละ 4 คน

       (ค) ชายติดกันหมดและหญิงติดกันหมด

1.8  มีคน 12 คน และมีเก้าอี้ 7 ตัว จัดเป็นวงกลม จงหาจำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดในการจัดคนนั่งเก้าอี้ทั้ง 7 ตัว

1.9   มีวิธีการร้อยพวงมาลัยดอกไม้ 7 ดอก จากดอกไม้ทั้งหมด 12 ดอก ได้กี่วิธี

1.10  ตัวอักษรทั้งหมด 15 ตัว มี A, B, C, D, E อย่างละ 3 ตัว จะมีจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 4 ตัวอักษรจากอักษรทั้งหมด 15 ตัวนี้ ได้คำที่แตกต่างกันกี่วิธี

2.สถิติ

2.1  ข้อมูลชุดหนึ่งมี 10 จำนวนหาด่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ได้ 2 ต่อมาปรากฏว่าผู้คำนวณอ่านค่าข้อมูลผิดไป 1 จำนวน คืออ่านที่ถูกต้องเป็น 0.2 แต่เขาอ่านเป็น 2.0 อยากทราบว่าค่าเฉลี่ยเลยคณิตที่ถูกต้องเป็นเท่าใด

2.2  ในการคำนวนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดหนึ่ง วึ่งมีความถี่ทั้งหมดเป็น 50 มีค่าเป็น 20 แต่ภายหลังพบว่าอ่านคะแนนผิดไปหนึ่งตัวคือเลย 12 อ่านเป็น 21 จงคำนวนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้อง

2.3  ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นดังนี้ 5 , 5 , 5 , X , 8 , 8 , 8 , 15 , 15 และ15 ถ้าค่าเฉลี่ยของ

ข้อมูลชุดนี้เท่ากับ8.9 ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้เป็นเท่าไร

2.4  นักเรียนหญิงกลุ่มหนึ่งจำนวน 10 คน มีผลบวกกำลังสองของอายุเป็น 1808 ปี ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุ 13.4 ปีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 1.1 ปี นักเรียนชายอีกกลุ่มหนึ่งจำนวน 5 คน มีผลบวกกำลังสองของอายุเป็น 249 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเป็น 7 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 0.9 ปี จงคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมของอายุของนักเรียนทั้งสองกลุ่ม

2.5  นักเรียนหญิงกลุ่มหนึ่งมี 30 คน มีอายุเฉลี่ย 15 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 1.2 ปี และนักเรียนกลุ่มหนึ่ง 25 คน มีอายุเฉลี่ย 15 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 1.9 ปี จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุรวมทั้งสองกลุ่ม

โครงสร้างคณิตศาสตร์

โครงสร้างของคณิตศาสตร์

           ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขาใด หรือในระดับการศึกษาใดก็ตาม ต้องเรียนรู้ถึงคำใหม่ๆ ในสาขานั้นๆ คำใหม่เหล่านี้บางคำก็จำเป็นต้องให้ความหมายที่ชัดเจน โดยกำหนดคำนิยาม (Define Term) ของคำนั้นๆ แต่บางคำก็ไม่จำเป็นต้องให้นิยาม เพราะให้นำยามไปก็ไม่มีประโยชน์ ซึ่งเราพูดถึงคำที่ไม่ให้นิยามเหล่านี้ว่า คำอนิยาม (Undefine Term) นอกจากนี้ยังมีข้อความที่ยอมรับหรือมีข้อตกลงว่าเป็นความจริงโดยมไม่ต้องมีการพิสูจน์ ซึ่งเรียกว่า สัจพจน์ (Postulate หรือ Axiom) ซึ่งมีความสำคัญกับคณิตศาสตร์มาก เพราะนักคณิตศาสตร์เชื่อว่าก่อนที่จะพิสูจน์ข้อความใดข้อความหนึ่งว่าถูกต้องนั้น เราต้องยอมรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งว่าถูกต้องก่อน ไม่เช่นนั้นเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ข้อความนั้นได้

จากนิยาม อนิยาม และสัจพจน์ เราสามารถพิสูจน์ข้อความใหม่ๆ ได้อีกมากมาย ข้อความที่พิสูจน์ได้เหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบท (Theorem) โดยอาศัยตรรกศาสตร์เป็นเครื่องมือพิสูจน์ทฤษฎีบทในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกระบบที่ประกอบด้วยบทนิยาม คำอนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท ว่าเป็นโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ (Mathematical System Structure) มีรายละเอียดดังนี้

1. คำอนิยาม 

          คำนิยาม คือ คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความ ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอย่างไร แต่อาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย หรือทราบได้จากสามัญสำนึก ที่คนส่วนใหญ่เข้าใจตรงกันว่าหมายความว่าอย่างไร หากจะให้ความหมายของคำนั้นจะเกิดความยุ่งยาก จึงไม่มีความจำเป็นต้องอธิบายความหมายอีก เช่น จุด เส้นตรง เซต คำอนิยามจำเป็นต้องมีในคณิตศาสตร์ทุกแขนงเพราะการที่จะให้ความหมายของสิ่ง ๆ หนึ่ง จำต้องใช้คำที่ทราบความหมายหรือเข้าใจตรงกันแล้วมาใช้อธิบาย หากไม่มีคำอนิยามก็จะไม่มีคำตั้งต้นสำหรับใช้สำหรับนิยามหรืออธิบายความหมายของคำอื่นๆ

2. บทนิยาม        

         บทนิยาม คือ การให้ความหมายของคำที่จะใช้ศึกษาในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง โดยอาศัยคำที่สามารถอธิบายหรือให้คำจำกัดความได้ โดยอาศัยคำอนิยามหรือบทนิยามอื่นๆ ที่กล่าวถึงก่อนหน้าในเรื่องหนึ่งๆ เช่น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน บทนิยามที่ดีต้องมีความเป็นสากล และเมื่อกำหนดขึ้นมาแล้วจะต้องไม่มีข้อโต้แย้งใด ๆ

3. สัจพจน์         

           สัจพจน์ คือ ข้อความที่ตกลงกันว่าเป็นจริง เป็นที่ยอมรับร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้

4. ทฤษฎีบทหรือกฎ

           ทฤษฎีบทหรือกฎ หมายถึง ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงเสมอ ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่นที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้วมาช่วยในการอ้างเหตุผลอย่างสมเหตุสมผลร่วมกับการอธิบายตามหลักตรรกศาสตร์

ธรรมชาติของคณิตศาสตร์

ธรรมชาติของคณิตศาสตร์

ผู้ที่จะทำการศึกษาเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ จำเป็นที่จะต้องมีความรู้และความเข้าใจเกี่ยวกับธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดในการเลือกวิธีที่จะทำให้ตนเองประสบความสำเร็จในการศึกษาเรียนรู้ ซึ่งสรุปได้ดังนี้

1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด

         ลักษณะที่สำคัญประการหนึ่งของคณิตศาสตร์คือการสร้างความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเรื่องหนึ่งๆ ขึ้น จากธรรมชาติสู่ลักษณะเป็นนามธรรม เช่น ความคิดรวบยอดเรื่องเส้นขนาน การคูณ อัตราส่วนตรีโกณมิติ การหาพื้นที่ ซึ่งความคิดรวบยอดจะเกิดจากการสรุปความคิดเห็นที่เหมือน ๆ กัน โดยอาศัยประสบการณ์ เหตุการณ์ หรือสถานการณ์ปัญหาที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน

 

2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่แสดงความเป็นเหตุเป็นผล

          คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีการแสดงแนวคิดอย่างเป็นเหตุเป็นผลกัน อย่างเป็นระบบระเบียบ มีแบบแผน เป็นขั้นตอน การสรุปในแต่ละขั้นตอนจะต้องมีการอ้างอิงเหตุผลอย่างสมเหตุสมผลทุกขั้นตอนในแต่ละเนื้อหาจะเป็นเหตุเป็นผลต่อกัน มนุษย์จึงสามารถใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาค้นคว้าองค์ความรู้ใหม่ ๆ และคิดค้นสิ่งประดิษฐ์ต่าง ๆ ได้

3. คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นสากล

           คณิตศาสตร์เป็นภาษาสัญลักษณ์ ที่มีการกำหนดสัญลักษณ์พิเศษขึ้นเพื่อสื่อความหมายเฉพาะในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้สามารถเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ได้รัดกุม ชัดเจน สื่อความหมายได้ถูกต้อง เกิดความเข้าใจตรงกันทั่วโลก เช่น π หรือ ∑ 

4. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง          

            ความงามของคณิตศาสตร์ประกอบด้วยความมีระเบียบ และความกลมกลืนที่เกิดขึ้นภายใน  ซึ่งนักคณิตศาสตร์นอกจากจะเป็นนักคิดแล้วจำเป็นต้องเป็นผู้มีจิตนาการ ช่างสังเกต มีความละเอียดรอบคอบ รู้จักเลือกคำต่างๆมาใช้ได้อย่างถูกต้อง พร้อมทั้งการให้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล รวมถึงการถ่ายทอดสิ่งที่พิสูจน์ได้แล้วออกมาอย่างมีระบบระเบียบ เป็นขั้นเป็นตอนอย่างชัดเจน เช่น ความงดงามของตัวเลข ความงดงามของคณิตศาสตร์ในธรรมชาติ การสร้างสรรค์ผลงานศิลปะโดยใช้รูปร่าง รูปทรงทางเรขาคณิต

5. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้าง

             คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้างหรือแบบแผน จึงเป็นเครื่องมือในการศึกษาความรู้ใหม่ๆ ในสาขาต่างๆ มากมาย โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกำเนิดมาจากธรรมชาติ โดยมนุษย์ได้เฝ้าสังเกตความเป็นไปของธรรมชาติ โดยพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ของเนื้อหาเหล่านั้นแล้วสรุปในรูปนามธรรม สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหานั้น ๆ ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย คำอนิยาม บทนิยาม และสัจพจน์ จากนั้นจึงใช้ตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นกฎหรือทฤษฎีบท แล้วนำกฎหรือทฤษฎีบทเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติต่อไป ด้วยวิธีการดังกล่าวทำให้มนุษย์เข้าใจความเป็นไปของธรรมชาติได้ดียิ่งขึ้นและในขณะที่นำกฎหรือทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ อาจจะได้ข้อมูลใหม่ก่อให้เกิดการปรับปรุงแก้ไขแบบจำลอง จนกระทั่งอาจจะทำให้ได้กฎหรือทฤษฎีบทที่ดีกว่าเดิม แล้วนำไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติอีกครั้งหนึ่ง